Regel der Allquantor-Einführung ($\bigwedge E$)

Wenn sich zeigen lässt, dass ein Satz für ein völlig beliebig gewähltes Individuum gilt, dann gilt er für jedes Individuum.

$\varphi (\iota)$

$\bigwedge \alpha \varphi ( {\iota \over \alpha} )$

Hierbei ist $\iota$ ein beliebiger Name und $\alpha$ eine Individuenvariable. $\varphi (\iota)$ ist ein Satz, in dem $\iota$ vorkommt und in dem $\alpha$ nicht vorkommt. $\varphi ( {\iota \over \alpha} )$ ist der Satz, der entsteht, wenn jedes Vorkommnis von $\iota$ in $\varphi (\iota)$ durch $\alpha$ ersetzt wird.

Einschränkung:

Der beliebige Name $\iota$ darf in keiner Annahme vorkommen, von der die Konklusion, $\bigwedge \alpha \varphi ( {\iota \over \alpha} )$, abhängt; andernfalls wäre ja ein bestimmtes Individuum gewählt, nämlich das, für das die Annahme gilt.

Das Ergebnis einer Anwendung der Allquantor-Einführung hängt von allen Annahmen ab, von denen der Satz abhängt, auf den die Regel angewandt wurde.

Beispiel:

1	(1)	$\bigwedge x (Fx \rightarrow Gx)$	$A$
2	(2)	$\bigwedge xFx$	$A$
1	(3)	$Fu \rightarrow Gu$	$1\bigwedge B$
2	(4)	$Fu$	$2\bigwedge B$
1,2	(5)	$Gu$	$3,4\rightarrow B$
1,2	(6)	$\bigwedge xGx$	$5 \bigwedge E$

Das Ergebnis der $\bigwedge E$, Zeile (6), hängt ab von den Annahmen (1) und (2). In keiner von beiden tritt das beliebige Individuum $u$ auf, daher ist der Schritt der $\bigwedge E$ zulässig.