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Semantik der Satzbuchstaben

Satzbuchstaben sind nullstellige Prädikatbuchstaben, also Prädikatbuchstaben, denen keine Individuenvariablen und keine beliebigen Namen folgen.

Ein Satzbuchstabe steht für eine beliebige Aussage. So kann der Satzbuchstabe $P$ für ,,Es regnet`` stehen und der Satzbuchstabe $Q$ für ,,Logik ist uninteressant``.

Eine der interessantesten Eigenschaften einer Aussage ist ihr Wahrheitsgehalt. Die hier entwickelte logische Sprache trägt dem Rechnung, indem ihre Semantik den einzelnen Satzbuchstaben Wahrheitswerte zuordnet. Wir verwenden zwei Wahrheitswerte, nämlich wahr (abgekürzt ,,$W$`` oder ,,$\top$``) und falsch (abgekürzt ,,$F$`` oder ,,$\bot$``).

Wenn man jedem Satzbuchstaben aus einer Menge von Satzbuchstaben genau einen Wahrheitswert zuordnet, dann nennt man das - wenig überraschend - Wahrheitswertzuordnung oder kurz Zuordnung. Man schreibt eine solche Zuordnung meist auf, indem man die Satzbuchstaben nebeneinanderschreibt, darunter einen Strich zieht und darunter unter jeden Satzbuchstaben den Wahrheitswert setzt, den man ihm zuordnet:

\(
\begin{array}{ccccc}
P & Q & R & S & T \\ \cline{1-5}
W & W & F & W & F
\end{array}\)

Diese Zuordnung ordnet den Satzbuchstaben $P$, $Q$ und $S$ den Wahrheitswert wahr und den Satzbuchstaben $R$ und $T$ den Wert falsch zu.

Eine solche Wahrheitswertzuordnung nennt man auch Sachverhalt (engl. state of affairs) oder - etwas unglücklich - mögliche Welt.

Die Bezeichnung Sachverhalt rührt daher, dass die Sätze, indem sie wahr oder falsch sind, einen Sachverhalt beschreiben. Betrachten wir die drei Sätze ,,Es regnet.``, ,,Die Sonne scheint`` und ,,Die Straße ist nass``, und nehmen wir an, dass der erste Satz wahr, der zweite falsch und der dritte wahr ist; dann beschreibt diese Wahrheitswertzuordnung den Sachverhalt, dass es regnet, dass die Straße regennass ist und dass die Sonne nicht scheint.

Der Ausdruck mögliche Welt stammt aus der Philosophie von Leibniz und hat sich als Synonym für ,,Sachverhalt`` eingebürgert. Wenn man die Wirklichkeit durch Sätze vollständig beschreibt (soferne das überhaupt möglich ist) und diesen Sätzen die ihnen tatsächlich zukommenden Wahrheitswerte zuordnet (soferne das überhaupt möglich ist), dann nennt man diese Wahrheitswertzuordnung tatsächliche Welt (engl. actual world).


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Christian Gottschall 2003-03-19