Semantischer Schlussbegriff I: Aussagenlogik

Von Leibniz stammt folgender kurzer Merksatz: Aus Wahrem folgt nur Wahres.

Semantische Gültigkeit wird durch das Zeichen ,,$\models$`` ausgedrückt, das wie das Zeichen für syntaktische Gültigkeit, ,,$\vdash$``, zwischen die Prämissen und die Konklusion geschrieben wird. Um auszudrücken, dass ein Argument nicht semantisch gültig ist, streicht man das Zeichen durch: $\not\models$.

Der Schluss ,,Alle Katzen sind Hunde; Sokrates ist eine Katze; also ist Sokrates ein Hund`` ist semantisch gültig; denn wären beide Prämissen wahr, d.h. wären alle Katzen Hunde und wäre Sokrates eine Katze, dann wäre auch die Konklusion wahr: Sokrates wäre ein Hund.

Der Schluss ,,Sokrates ist der Autor von Menon; also ist Platon ein Philosoph`` ist semantisch nicht gültig: Es ist ohne weiteres denkbar, dass die Prämisse wahr ist, d.h. dass Sokrates den Menon schrieb, dass die Konklusion aber falsch ist, dass Platon also kein Philosoph ist.

Um die semantische Gültigkeit eines in der Sprache der Aussagenlogik^4.8formulierten Arguments zu untersuchen, muss man sich alle Zuordnungen von Wahrheitswerten zu den im Argument vorkommenden Satzbuchstaben vornehmen und für jede dieser Zuordnungen die Wahrheitswerte aller Prämissen und der Konklusion betrachten: Gibt es auch nur eine einzige Zuordnung, die alle Prämissen wahr macht, die Konklusion aber falsch, dann ist das Argument ungültig; andernfalls ist es gültig.

Man nennt jede Zuordnung, bei der alle Prämissen wahr sind, bei der die Konklusion aber falsch ist, ein Gegenbeispiel für das Argument. Für ein gültiges Argument gibt es kein Gegenbeispiel, denn so ist ja die semantische Gültigkeit definiert.

Um nicht den Überblick zu verlieren, wird man eine Liste aller möglichen Zuordnungen bilden. Betrachten wir das Argument $P \rightarrow Q, Q \rightarrow R, P \vdash R$. In diesem Argument treten drei Satzbuchstaben auf, $P$, $Q$ und $R$. Jedem von ihnen kann entweder der Wahrheitswert $W$ oder $F$ zugeordnet werden. Insgesamt gibt es daher $2\times 2\times2=8$ Zuordnungen. Sie sehen wie folgt aus:

Unsere Aufgabe besteht darin, zu untersuchen, ob auch nur eine einzige dieser acht Zuordnungen ein Gegenbeispiel für unser Argument ist und damit das Argument als semantisch ungültig erweist.

Es ist zweckmäßig, sowohl jeder Prämisse als auch der Konklusion eine eigene Spalte in unserer nun wachsenden Tabelle zu gewähren:

			erste Prämisse	zweite Prämisse	dritte Prämisse	Konklusion
$P$	$Q$	$R$	$P \rightarrow Q$	$Q\rightarrow R$	$P$	$R$
W	W	W	?	?	?	?
W	W	F	?	?	?	?
W	F	W	?	?	?	?
W	F	F	?	?	?	?
F	W	W	?	?	?	?
F	W	F	?	?	?	?
F	F	W	?	?	?	?
F	F	F	?	?	?	?

Die erste neu hinzugekommene Spalte soll mit den Wahrheitswerten der ersten Prämisse, $P \rightarrow Q$, für die einzelnen Wahrheitswertzuordnungen gefüllt werden. Wir kommen zu folgendem Ergebnis:

			erste Prämisse	zweite Prämisse	dritte Prämisse	Konklusion
$P$	$Q$	$R$	$P \rightarrow Q$	$Q\rightarrow R$	$P$	$R$
W	W	W	$W\rightarrow W$	?	?	?
W	W	F	$W\rightarrow W$	?	?	?
W	F	W	$W\rightarrow F$	?	?	?
W	F	F	$W\rightarrow F$	?	?	?
F	W	W	$F\rightarrow W$	?	?	?
F	W	F	$F\rightarrow W$	?	?	?
F	F	W	$F\rightarrow F$	?	?	?
F	F	F	$F\rightarrow F$	?	?	?

Ist einem der Wahrheitswertverlauf des Konditionals bekannt, schreibt man ohne große Mühe das ,,Endergebnis`` der ersten Prämissenspalte nieder. Es sieht wie folgt aus:

			erste Prämisse	zweite Prämisse	dritte Prämisse	Konklusion
$P$	$Q$	$R$	$P \rightarrow Q$	$Q\rightarrow R$	$P$	$R$
W	W	W	W	?	?	?
W	W	F	W	?	?	?
W	F	W	F	?	?	?
W	F	F	F	?	?	?
F	W	W	W	?	?	?
F	W	F	W	?	?	?
F	F	W	W	?	?	?
F	F	F	W	?	?	?

In derselben Weise verfährt man für die beiden verbleibenden Prämissenspalten und für die Konklusionsspalte. Die Tabelle nimmt folgende Gestalt an:

			erste	zweite	dritte	Konklu-
			Prämisse	Prämisse	Prämisse	sion
$P$	$Q$	$R$	$P \rightarrow Q$	$Q\rightarrow R$	$P$	$R$
W	W	W	W	W	W	W	erste Zuordnung
W	W	F	W	F	W	F	zweite Zuordnung
W	F	W	F	W	W	W	dritte Zuordnung
W	F	F	F	W	W	F	vierte Zuordnung
F	W	W	W	W	F	W	fünfte Zuordnung
F	W	F	W	F	F	F	sechste Zuordnung
F	F	W	W	W	F	W	siebente Zuordnung
F	F	F	W	W	F	F	achte Zuordnung

Die erste Zuordnung, das ist jene, die allen drei Satzbuchstaben den Wert $W$ zuordnet, ordnet allen drei Prämissen ebenfalls den Wert $W$ zu. Auch der Konklusion ordnet sie $W$ zu.

Da es keine weitere Zuordnung gibt, die alle Prämissen wahr werden lässt, wissen wir bereits, dass das untersuchte Argument gültig ist: Es ist tatsächlich der Fall, dass alle Zuordnungen, die alle Prämissen wahr machen (im Beispiel gibt es nur eine solche Zuordnung, eben die erste) auch die Konklusion wahr machen. Wir schreiben daher $P \rightarrow Q, Q \rightarrow R, P \models R$.