Semantischer Schlussbegriff II: Prädikatenlogik

In Kapitel 4.2 (Seite ) haben wir uns damit befasst, aussagenlogische Argumente auf ihre semantische Gültigkeit hin zu untersuchen. In diesem Kapitel wollen wir unsere Untersuchung auf die volle Prädikatenlogik ausdehnen.

Hier zur Erinnerung noch einmal die Definition semantischer Gültigkeit:

Um die Wahrheit eines Satzes der Aussagenlogik zu kennen, reicht es aus, die Wahrheit der in ihm vorkommenden Satzbuchstaben zu kennen. Mit dieser Information lässt sich der Wahrheitswert des ganzen Satzes errechnen. Um alle Möglichkeiten zu prüfen, in denen die Prämissen theoretisch alle wahr sein können und die Konklusion falsch sein kann, reicht es aus, alle Zuordnungen von Wahrheitswerten zu allen im Satz auftretenden Satzbuchstaben zu untersuchen.

Die Prädikatenlogik besteht aus weitaus mehr Komponenten. Um den Wahrheitswert eines prädikatenlogischen Satzes feststellen zu können, benötigt man folgende Informationen:

1. Welche Individuen gibt es?

   Diese Information liefert das Diskursuniversum (vgl. Kapitel 4.6.1, Seite ).

2. Welche Individuen bezeichnen die Individuenkonstanten?

   Diese Information liegt in Gestalt von Namensrelationen vor (vgl. Kapitel 4.6.2, Seite ).

3. Welche Wahrheitswerte haben die Satzbuchstaben?

   Diese Information liefert eine Wahrheitswertzuordnung, wie wir sie aus der reinen Aussagenlogik kennen (vgl. Kapitel 4.1.1, Seite ).

4. Welche Prädikate treffen auf welche Individuen zu?

   Diese Information liefern die Extensionen der Prädikate (vgl. Kapitel 4.6.3, Seite ).

All diese Informationen liefert einem eine Interpretation: Ein geordnetes Quadrupel $\langle \mathcal{D}, \mathcal{N}, \mathcal{A}, \mathcal{P}\rangle$ heißt genau dann Interpretation eines prädikatenlogischen Satzes $\mathcal{S}$, wenn folgende Bedingungen zutreffen:

1. $\mathcal{D}$ ist ein Diskursuniversum, d.h. eine Menge von beliebigen Individuen
2. $\mathcal{N}$ ist eine Menge von Namensrelationen, d.h. von geordneten Paaren $\langle \iota, \delta\rangle$, bei denen $\iota$ eine Individuenkonstante und $\delta$ ein Individuum, also ein Element des Diskursuniversums ist; dabei darf $\mathcal{N}$ für jede Individuenkonstante höchstens eine Namensrelation enthalten (andernfalls wäre die Individuenkonstante mehrdeutig, also ein Scheinname). Für jede Individuenkonstante, die im interpretierten Satz $\mathcal{S}$ vorkommt, muss $\mathcal{N}$ eine Namensrelation enthalten, weil der Satz sonst einen Scheinnamen enthielte, der nichts bezeichnet.
3. $\mathcal{A}$ ist eine Menge von Satzbuchstaben, denen der Wahrheitswert $W$ zugeordnet wird. Satzbuchstaben, die nicht in $\mathcal{A}$ enthalten sind, wird der Wert $F$ zugeordnet.
4. $\mathcal{P}$ ist eine Menge von geordneten Paaren $\langle \varphi, \mathcal{E}\rangle$, bei denen $\varphi$ ein Prädikatbuchstabe und $\mathcal{E}$ die Extension dieses Prädikatbuchstaben ist; dabei darf $\mathcal{P}$ für jeden Prädikatbuchstaben höchstens ein solches Paar enthalten (andernfalls wäre das Prädikat mehrdeutig). Für jeden Prädikatbuchstaben, der im interpretierten Satz $\mathcal{S}$ vorkommt, muss $\mathcal{P}$ ein solches Paar enthalten, weil der Satz sonst ein unverständliches Prädikat enthielte.

Beispiel:

Wir wollen eine Interpretation $\langle \mathcal{D}, \mathcal{N}, \mathcal{A}, \mathcal{P}\rangle$ für den Satz $\bigwedge x Fx \wedge Fa$ bilden. Das Diskursuniversum $\mathcal{D}$ können wir frei wählen; entscheiden wir uns für $\{Frege,$ $Russell,$ $Carnap,$ $Quine,$ $Sokrates,$ $Garfield\}$. Die Menge $\mathcal{N}$ muss für alle im Satz vorkommenden Individuenkonstanten eine Namensrelation enthalten. Unser Beispielsatz enthält bloß die Individuenkonstante $a$. Wenn wir uns dafür entscheiden, $a$ das Individuum Sokrates bezeichnen zu lassen, dann lautet die Namensrelation $\langle a, Sokrates\rangle$. Da der Satz keine weiteren Individuenkonstanten enthält, ist die Menge $\{\langle a, Sokrates\rangle\}$ als Komponente $\mathcal{N}$ ausreichend. Zwar wäre es zulässig, noch weitere Namensrelationen aufzunehmen - z.B. $\langle b, Quine\rangle$ - doch brächte das keinen Vorteil.

Satzbuchstaben kommen im zu interpretierenden Satz keine vor. Wir verwenden für $\mathcal{A}$ der Einfachheit halber die leere Menge, $\{\}$. Das bedeutet, dass keinem einzigen Satzbuchstaben der Wert $W$ zugeordnet wird.

Nun sind nur noch die Prädikatbuchstaben offen. Der zu interpretierende Satz enthält einen einstelligen Prädikatbuchstaben, $F$. Die Extension eines einstelligen Prädikatbuchstabens ist die Menge der Dinge, die unter dieses Prädikat fallen - entscheiden wir uns willkürlich für Frege, Russell, Carnap, Quine und Sokrates. Wir nehmen daher das geordnete Paar $\langle F$, $\{$ Frege, Russell, Carnap, Quine, Sokrates$\}\rangle$ in die Komponente $\mathcal{P}$ unserer Interpretation auf.

Da außer $F$ keine Prädikatbuchstaben auftreten, brauchen wir auch keine weiteren Prädikatbuchstaben zu interpretieren. Wir sind daher mit der Aufgabe, eine Interpretation für den Satz $\mathcal{S}$ zu bilden, fertig: Sie lautet:

$\langle \underbrace{\{Frege, Russell, Carnap, Quine, Sokrates, Garfield\}}_{ D... ...ion\ von\ F} \rangle}_{ Interpretation\ von\ F }\}}^{ \mathcal{P} } \rangle$

Eine Interpretation eines prädikatenlogischen Satzes erlaubt es, seinen Wahrheitswert gemäß den Wahrheitsregeln von Kapitel 4.6.4 (Seite ) zu berechnen.

Eine Interpretation für einen Satz $\mathcal{S}$, die diesen Satz wahr macht, heißt Modell von $\mathcal{S}$. Hat ein Satz kein Modell, ist er unerfüllbar. Hat ein Satz mindestens ein Modell, ist er erfüllbar. Ist ein Satz bei jeder Interpretation wahr, dann ist er allgemeingültig.

Um die semantische Gültigkeit ausdrücken zu können, müssen wir die Definition von ,,Interpretation`` auf mehrere Sätze, d.h. auf eine Satzmenge ausdehnen: Ein Quadrupel $\langle \mathcal{D}, \mathcal{N}, \mathcal{A}, \mathcal{P}\rangle$ ist genau dann eine Interpretation für eine Satzmenge, wenn es eine Interpretation für jeden Satz dieser Satzmenge ist. Diese Festlegung stellt sicher, dass jeder Satz auch dann vollständig interpretiert wird, wenn nicht alle Sätze dieselben Individuenkonstanten und Prädikate enthalten.

Die semantische Gültigkeit eines prädikatenlogischen Arguments lässt sich damit folgendermaßen ausdrücken:

Eine Interpretation, die ein Argument widerlegt, indem sie alle Prämissen wahr, die Konklusion aber falsch macht, heißt wie in der Aussagenlogik Gegenbeispiel.

Obwohl komplizierter zu verstehen, unterscheidet sich die Semantik der Prädikatenlogik in den bisherigen Punkten nicht unerträglich von jener der Aussagenlogik. Erst wenn man mit dem bisher Gesagten an ein konkretes Argument herantritt, sieht man den großen Unterschied:

Schon allein dadurch, dass man für die Wahl der Anzahl von Individuen unendlich viele Möglichkeiten hat (das Diskursuniversum kann ein Individuum, zwei Individuen, drei, vier, ..., unendlich viele Individuen, ...enthalten), kann man für jeden prädikatenlogischen Satz unendlich viele Interpretationen finden. Da man nicht unendlich viele Interpretationen aufschreiben kann, gibt es in der Prädikatenlogik nichts, das dem Wahrheitstafeltest der Aussagenlogik vergleichbar wäre.

In der Tat gibt es kein Verfahren, das entscheidet, ob ein prädikatenlogisches Argument gültig ist oder ungültig.

Da man zum Nachweis der Gültigkeit unendlich viele Interpretationen untersuchen müsste, beschäftigt man sich zunächst statt dessen mit dem Nachweis von Ungültigkeit: Sobald man eine einzige Interpretation gefunden hat, die die Prämissen wahr, die Konklusion aber falsch macht, steht fest, dass das Argument semantisch ungültig ist. Solange man keine solche Interpretation gefunden hat, ist keine Aussage möglich: Das Argument könnte gültig sein; genauso gut wäre es aber möglich, dass das Argument zwar ungültig ist, man aber die Interpretation, die das zeigt, noch nicht gefunden hat.