Formationsregeln

Die folgenden Produktionsregeln, die in beliebiger Reihenfolge und beliebig oft angewandt werden dürfen, erzeugen alle Sätze der hier behandelten logischen Sprache.

Erste Formationsregel:

Jeder Prädikatbuchstabe, der von mindestens null Individuenkonstanten oder beliebigen Namen gefolgt wird, ist ein Satz.

Die Anzahl der Individuenkonstanten und beliebigen Namen, die einem Prädikatbuchstaben folgen, ist seine Stelligkeit (engl. arity). Prädikatbuchstaben müssen einheitlich verwendet werden, d.h. ein Prädikatbuchstabe darf nicht an unterschiedlichen Stellen verschiedene Stelligkeit haben.

Ein nullstelliger Prädikatbuchstabe wird auch Satzbuchstabe genannt. In der Aussagenlogik treten nur nullstellige Prädikatbuchstaben auf.

Beispiele:

$A$

ist ein Satz, denn $A$ ist ein Prädikatbuchstabe, dem keine (d.h. null) Individuenkonstanten folgen.

$Badbd$

ist ein Satz, denn $B$ ist ein Prädikatbuchstabe, dem vier Individuenkonstanten folgen. $B$ ist somit ein vierstelliger Prädikatbuchstabe.

$Caxb$

ist kein Satz. Zwar ist $C$ ein Prädikatbuchstabe, und $a$ und $b$ sind Individuenkonstanten; jedoch ist $x$ weder eine Individuenkonstante noch ein beliebiger Name.

$Caub$

ist ein Satz. $C$ ist ein Satzbuchstabe, $a$ und $b$ sind Individuenkonstanten, und $u$ ist ein beliebiger Name.

Zweite Formationsregel:

Wenn zwei beliebige Gebilde $\varphi$ und $\psi$^3.6 Sätze sind, dann sind folgende Gebilde ebenfalls Sätze:

$(\varphi \wedge \psi)$

Ein derartiges Gebilde heißt Konjunktion. Der Satz $\varphi$ ist das erste, der Satz $\psi$ das zweite Konjunkt der Konjunktion.

$(\varphi \vee \psi)$

Dieses Gebilde heißt Disjunktion. Der Satz $\varphi$ ist das erste, der Satz $\psi$ das zweite Disjunkt der Disjunktion.

$(\varphi \rightarrow \psi)$

Ein solches Gebilde heißt Konditional. Der Satz $\varphi$ ist das Antecedens, der Satz $\psi$ das Konsequens des Konditionals.

Mit anderen Worten: Aus zwei bestehenden Sätzen kann man einen neuen Satz erzeugen, indem man die beiden Sätze nebeneinanderschreibt, zwischen die beiden eines der Zeichen ,,$\wedge$``, ,,$\vee$`` und ,,$\rightarrow$`` setzt und das so entstandene Gebilde in Klammern setzt.

Anmerkung:

Ein Gebilde der Form $(\varphi \leftrightarrow \psi$) ist in unserer logischen Sprache kein Satz, sondern bloß eine Abkürzung für den Satz $((\varphi\rightarrow\psi)\wedge(\psi\rightarrow\varphi))$.

Beispiel:

Wählen wir zwei beliebige Gebilde, ,,$Fabc$`` und ,,*!*``. Verwenden wir die griechischen Buchstaben $\varphi$ und $\psi$ als Abkürzung für das erste bzw. das zweite Gebilde. Gemäß Regel 3.3 ist das Gebilde $(\varphi \wedge \psi)$, also $(Fabc \wedge *!*)$ ein Satz, soferne sowohl $\varphi$ als auch $\psi$ ein Satz ist. Nun ist $\varphi$, $Fabc$, gemäß Regel 3.3 ein Satz. Hingegen ist $\psi$, d.h. $*!*$, kein Satz. Aus Regel 3.3 können wir daher nicht schließen, dass das Gebilde $(Fabc \wedge *!*)$ ein Satz sei. Damit ist noch nicht gezeigt, dass $(Fabc \wedge *!*)$ kein Satz ist; um das festzustellen, müssten wir überprüfen, ob irgendeine der übrigen Regeln dieses Gebilde erzeugt. Die Leserin ist dazu eingeladen, das zu tun.

Beispiel:

Betrachten wir zwei andere Gebilde, ,, $(P \wedge Fab)$`` und ,,$Addh$``. Kürzen wir wieder das erste Gebilde mit $\varphi$ und das zweite mit $\psi$ ab. Gemäß Regel 3.3 ist $\varphi$ nur dann ein Satz, wenn sowohl $P$ als auch $Fab$ ein Satz ist. Beides ist nach Regel 3.3 der Fall; somit ist $\varphi$ ein Satz. dass $\psi$ ebenfalls ein Satz ist, folgt unmittelbar aus Regel 3.3. Da $\varphi$ und $\psi$ Sätze sind, ist gemäß Regel 3.3 auch das Gebilde $(\varphi \rightarrow \psi)$, d.h. $((P \wedge Fab) \rightarrow Addh)$, ein Satz.

Dritte Formationsregel:

Wenn ein beliebiges Gebilde $\varphi$ ein Satz ist, dann ist $\neg \varphi$ ebenfalls ein Satz.

Mit anderen Worten: Aus einem bestehenden Satz kann man einen neuen Satz erzeugen, indem man ihm das Zeichen ,,$\neg$`` voranstellt.

Vierte Formationsregel:

Wenn $\iota$ eine Individuenkonstante, $\alpha$ eine Individuenvariable und $\varphi (\iota)$ ein Satz ist, in dem die Individuenkonstante $\iota$ mindestens einmal vorkommt und in dem die Individuenvariable $\alpha$ nicht vorkommt, dann sind folgende Gebilde ebenfalls Sätze:

$\bigwedge \alpha \varphi ( {\iota \over \alpha} )$ (,,der Satz $\varphi$ trifft auf jedes Ding $\alpha$ zu``)

$\bigvee \alpha \varphi ( {\iota \over \alpha} )$ (,,der Satz $\varphi$ trifft auf mindestens ein Ding $\alpha$ zu``)

Dabei bedeutet $\varphi ( {\iota \over \alpha} )$, dass im Satz $\varphi$ mindestens ein Vorkommnis der Individuenkonstante $\iota$ durch die Individuenvariable $\alpha$ ersetzt wurde.

Etwas weniger exakt, aber bildlicher: Aus einem bestehenden Satz, in dem eine bestimmte Individuenkonstante, z.B. $a$, vorkommt, kann man einen neuen Satz erzeugen, indem man (a) die Individuenkonstante an mindestens einer Stelle durch eine Individuenvariable ersetzt, die in diesem Satz nicht auftritt, und (b) eines der Zeichen ,,$\bigwedge$`` und ,,$\bigvee$``, gefolgt von der verwendeten Variable, vor den Satz schreibt.

Beispiel:

Wir wollen aus dem Satz $Fa \rightarrow Ga$ einen Satz erzeugen, der den Quantor $\bigwedge$ enthält. Zu diesem Zweck wählen wir eine Individuenvariable, die in diesem Satz nicht vorkommt - der Einfachheit zuliebe gleich $x$. Anschließend entscheiden wir uns für eine Individuenkonstante in unserem Satz, die wir durch die Varieble $x$ ersetzen wollen. Unsere Wahl fällt uns nicht schwer, weil im Satz $Fa \rightarrow Ga$ nur eine einzige vorkommt, nämlich $a$. Wir müssen mindestens eines der Vorkommnisse dieser Konstanten durch die gewählte Variable ersetzen; wenn wir uns dazu entschließen können, beide Vorkommnisse zu ersetzen, gelangen wir zu $Fx \rightarrow Gx$ - dieses Gebilde ist für sich allein kein Satz! Nun brauchen wir ihm nur noch den Quantor $\bigwedge$, gefolgt von der verwendeten Individuenvariable, $x$, voranzustellen. Das so entstandene Gebilde ist $\bigwedge x (Fx \rightarrow Gx)$. Dieses Gebilde ist ein Satz, weil wir es gemäß Regel 3.3 erzeugt haben.

Beispiel:

Betrachten wir die drei Gebilde ,,$a$``, ,,$x$`` und ,,$Fabacab$``. Nennen wir das erste Gebilde $\iota$, das zweite $\alpha$ und das dritte $\varphi (\iota)$. Nun ist $\iota$ nach der Bausteindefinition in Kapitel 3.2 (Seite ) eine Individuenkonstante, und $\alpha$ ist eine Individuenvariable. Gemäß Regel 3.3 ist $\varphi (\iota)$ ein Satz, und die Individuenkonstante $\iota$ kommt in $\varphi (\iota)$ tatsächlich mindestens einmal, tatsächlich sogar dreimal, vor. Nach Regel 3.3 ist daher auch $\bigwedge x Fabxcxb$ ein Satz ($\iota$) wurde an mindestens einer Stelle, tatsächlich sogar an zwei Stellen, durch $\alpha$ ersetzt).

Fünfte Formationsregel:

Wenn $\iota$ und $\tau$ (nicht notwendigerweise unterschiedliche) Individuenkonstanten oder beliebige Namen sind, dann ist $\iota = \tau$ ein Satz.

Sechste Formationsregel:

Nichts anderes ist ein Satz.^3.7

Die von den vorangehenden Formationsregeln gebildeten Sätze liegen in Peano-Russell-Notation^3.8 oder Infix-Notation vor. Diese Notation ist eine Klammerschreibweise, weil sie Mehrdeutigkeiten erlaubt, die nur mit Klammern aufgelöst werden können; z.B. sieht man der Zeichenfolge $P \rightarrow Q \wedge R$ nicht an, ob damit der Satz $P \rightarrow (Q \wedge R)$ oder der Satz $(P \rightarrow Q) \wedge R$ gemeint ist. Unsere Formationsregeln entschärfen dieses Problem insoferne, als sie uns zwingen, stets Klammern zu setzen. Dennoch werden längere Sätze in dieser Notation sehr rasch unübersichtlich - mit diesem Problem setzen sich die Kapitel 3.4 und 3.5 näher auseinander.

Es ist üblich, zur Verringerung der Schreibarbeit die äußersten Klammern eines Satzes (und nur diese) wegzulassen, also z.B. statt $((P \wedge Q) \index{Klammereinsparungsregel}% \rightarrow Q)$ ganz einfach $(P \wedge Q) \rightarrow Q$ zu schreiben. Obwohl das strenggenommen eine Verletzung der Formationsregeln ist, wird das auch in diesem Skriptum meist so gehandhabt.

In der Literatur kursieren zahlreiche weitere miteinander unverträgliche ,,Vereinfachungssysteme``, mit denen sich die Anzahl der Klammern weiter verringern lässt. Gerade für Anfänger haben sie die gegenteilige Wirkung, sodass ich davon absehe, näher auf eines von ihnen einzugehen. Sobald der Leser mit der logischen Sprache in der hier dargebotenen Form gut vertraut ist, wird es ihm sehr leicht fallen, sich in der weiterführenden Literatur mit anderen Konventionen vertraut zu machen.