... betrachtet.2.1
Für eine exakte Definition bitte ich die Leserin, auf Kapitel 4.1 (Seite [*]) zu warten.
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... Schließen3.1
Kalküle des natürlichen Schließens sind auch als ,,Gentzen style calculi`` oder ,,Jaskowsky style calculi`` bekannt; Gerhard Gentzen und Stanisaw Jaskowsky erfanden unabhängig voneinander diese Art von Kalkülen und publizierten ihre Arbeiten 1934. Jan Wolenski zufolge stammen Jaskowskys Ergebnisse allerdings bereits aus dem Jahre 1927. Vgl. Gerhard Gentzen: ,,Untersuchungen über das logische Schließen``, in: Mathematische Zeitschrift 39, 1934-1935, nachgedruckt in: Karel Berka/Lothar Kreiser: Logik-Texte. Kommentierte Auswahl zur Geschichte der modernen Logik, Berlin: Akademie $^4$1986; Stanisaw Jaskowsky: ,,On the Rules of Suppositions in Formal Logic``, Warschau: 1934.
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... Oder)3.2
Achtung: Der senkrechte Strich, ,,$\mid$``, wird häufiger für den Sheffer-Operator (,,NAND``) verwendet.
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... ,,Tilde``3.3
Das Zeichen ,,$\sim$`` heißt ,,Tilde``.
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... Bedingung``)3.4
Das Konditional wird auch ,,materiale Implikation`` genannt und wird allzu oft als ,,impliziert`` gelesen. Diese Lesart ist nicht wirklich korrekt.
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... dann``)3.5
Das Bikonditional wird oft als Äquivalenz gelesen, was zumindest ungenau ist.
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...$\psi$3.6
Die griechischen Buchstaben $\varphi$ (Phi) und $\psi$ (Psi) gehören nicht zu unserer logischen Sprache: Wir verwenden sie, um über die logische Sprache zu sprechen; damit sind sie Teil der Metasprache (vgl. Seite [*]).
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... Satz.3.7
Ob man diese Regel verwendet, ist eine Frage der individuellen Metaphysik. Wenn man den konstruktivistischen Standpunkt vertritt, dass die Regeln etwas erzeugen, das es vorher nicht gegeben hat - nämlich Sätze -, dann ist Regel 3.3 überflüssig. Vertritt man die platonistische Ansicht, dass von den Dingen, die selbständig existieren, bestimmte als Sätze ausgezeichnet werden, dann ist die Regel unbedingt erforderlich.
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...Peano-Russell-Notation3.8
So benannt nach dem italienischen Mathematiker Giuseppe Peano und dem englischen Philosophen Bertrand Russell, die die Konnektive in ihrer hier verwendeten Gestalt einführten.
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... Jan3.9
Zurückverfolgen lässt sich die polnische Notation bis in die frühen 20-er Jahre, während derer Leon Chwistek und Jan ukasiewicz sie unabhängig voneinander erfanden.
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...3.10
Unglücklicherweise wird das Wort ,,Disjunktion`` im Rahmen der polnischen Notation anders verwendet: Es bezeichnet dort das ausschließende Oder.
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... jedenfalls.3.11
Dieser Satz stammt nicht von Hegel und sichert mir mit hoher Wahrscheinlichkeit einen Platz in der Reihe der tiefgründigen Philosophen.
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....3.12
Diese Behauptung ist eine Formulierung des Deduktionstheorems, das in diesem Text nicht bewiesen wird. Die Gültigkeit des Deduktionstheorem wurde 1930 von Jaques Herbrand nachgewiesen.
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... Satz3.13
Das Wort Satz ist an dieser Stelle nicht ganz korrekt bzw. im Sinn eines natürlichsprachlichen Satzes gemeint; richtig wäre Prädikat. Damit werden wir uns aber erst an späterer Stelle auseinandersetzen.
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... veritate3.14
Eadem sunt, quorum unum potest substitui alteri salva veritate (Leibniz): Dieselben sind, deren eines für das andere eingesetzt werden kann, ohne dass darunter die Wahrheit [einer Aussage] leidet, [in der diese Ersetzung vorgenommen wird].
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... haben.4.2
vgl. Benson Mates a.a.O. (siehe Fußnote 1, Seite [*])
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... Peirce4.3
Die Tatsache, dass Peirce es war, der die Idee hatte, aussagenlogische Konnektive durch elektrische Schaltungen auszudrücken, und der damit den Weg für den Computer ebnete, verdient Beachtung. Ausgeführt wurde die Idee durch Peirces Schüler Allan Marquand (1853-1924).
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...NAND.4.4
NAND- und NOR-Schaltungen spielen in der Schaltungstechnik aus Gründen, die Kapitel 4.1.4 (Seite [*]) enthüllen wird, eine dominierende Rolle.
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... bekannt.4.5
nach Gilbert S. Vernam (1890-1960), einem Angestellten von AT&T, der 1917 den ersten Fernschreiber-Chiffrierzusatz nach Konnektiv $K_6$ baute (US-Patent 1.310.719).
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... $((\varphi\wedge\psi) \vee (\varphi\wedge\neg\psi)) \vee (\neg\varphi
\wedge\neg\psi)$4.6
Unsere Formationsregeln erfordern es, dass man jede Disjunktion klammert. Da $(P \vee Q) \vee R \vdash P \vee (Q \vee R)$ und $P \vee (Q \vee R) \vdash (P\vee Q) \vee R$ gilt, ist es gleichgültig, wie wir die Disjunktionen klammern.
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....4.7
Wer mir nicht glaubt, wird ersucht, die Wahrheitstabelle von $\varphi \vee \psi$ und die von $\neg(\neg\varphi\wedge\neg\psi)$ zu vergleichen oder die beiden Argumente $\varphi\vee\psi \vdash \neg(\neg\varphi\wedge\neg\psi)$ und $\neg(\neg\varphi\wedge\neg\psi) \vdash \varphi\vee\psi$ herzuleiten. Die Feststellung, dass diese beiden Argumente gültig sind, ist als Satz von De Morgan bekannt (nach dem englischen Mathematiker Augustus De Morgan, 1806-1871).
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...Aussagenlogik4.8
zum Nachweis der semantischen Gültigkeit eines prädikatenlogischen Arguments vgl. Kapitel 4.7 (Seite [*]).
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... sein.4.10
Es gibt Logiken, die den Umgang mit einem leeren Diskursuniversum gestatten (z.B. freie Logik, siehe K. Lambert: ,,On the philosophical foundations of free logic``, Inquiry 24, Seite 147 ff. oder Lothar Kreiser/Siegfried Gottwald/Werner Stelzner: Nichtklassische Logik, Berlin: Akademie $^2$1990, Seite 353 ff.). Da sie methodisch komplizierter und zudem weniger verbreitet sind, wären sie in einem Einführungsskriptum fehl am Platz.
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....4.11
Die spitzen Klammern deuten an, dass es sich um ein geordnetes Paar handelt. Ein geordnetes Paar ist einer Menge ähnlich, jedoch ist in einer Menge die Reihenfolge der Elemente gleichgültig, in einem geordneten Paar nicht. Mit anderen Worten, die Mengen $\{$Wien, Stixneusiedl$\}$ und $\{$Stixneusiedl, Wien$\}$ sind identisch; die Paare $\langle$Wien, Stixneusiedl$\rangle$ und $\langle$Stixneusiedl, Wien$\rangle$ sind unterschiedliche Paare.

In der Tat ist die einzige Forderung, die man an ein Paar stellt, folgende:

\(
\bigwedge x_1 \bigwedge y_1 \bigwedge x_2 \bigwedge y_2
(\langle x_1, y_1\rangle = \langle x_2, y_2\rangle \leftrightarrow (x_1=x_2 \wedge
y_1=y_2))
\)

Obwohl in einer Menge die Reihenfolge der Elemente gleichgültig ist, lässt sich das geordnete Paar auf eine Menge zurückführen: Die Menge $\{\{x\}, \{x,y\}\}$ erfüllt die vorher genannte Anforderung und ist damit eine adäquate Formulierung des geordneten Paars. Wer Lust dazu hat, möge versuchen, das zu beweisen.

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... Anfang.4.12
Eine völlig zufriedenstellende Definition findet sich z.B. in Benson Mates: Elementare Logik. Prädikatenlogik der ersten Stufe, Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht $^2$1978 (=Moderne Mathematik in elementarer Darstellung 9), Seite 85, Punkte 8 und 9.
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... Jahrhunderts4.13
Gottlob Frege: ,,Funktion und Begriff``, Vortrag, gehalten in der Sitzung vom 9.1.1891 der Jenaischen Gesellschaft für Medizin und Naturwissenschaft, abgedruckt in Gottlob Frege: Funktion, Begriff, Bedeutung, Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht $^6$1986 (=Kleine Vandenhoeck-Reihe 1144) und in Karel Berka/Lothar Kreiser: Logik-Texte. Kommentierte Auswahl zur Geschichte der modernen Logik, Berlin: Akademie $^4$1986.
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... übersetzen.4.14
Unpräzise Quantoren und Prädikate behandelt die Unpräzise Logik (engl. fuzzy logic); vgl. Lotfi Zadeh: ,,Fuzzy sets``, in: Information and Control 8, Seite 338 ff.
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... vor.4.15
vgl. Willard Van Orman Quine: Wort und Gegenstand, Stuttgart: Reclam 1980 (=Universal-Bibliothek 9987), insbesondere Seite 314 ff.
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... Denoting5.1
Es handelt sich dabei um einen Aufsatz aus dem Jahr 1905, der in deutscher Sprache in Betrand Russell: Philosophische und politische Aufsätze, Stuttgart: Reclam 1971 (=Universal-Bibliothek 7970) abgedruckt ist.
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... gekommen5.2
vgl. Kapitel 4.9.3, Seite [*]
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... lautet.5.3
Die Argumentation Russells ist eine Spur subtiler als meine Erörterung. Für eine vollständige Darstellung verweise ich auf Russell a.a.O. (siehe Fußnote 1, Seite [*]).
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... ist``5.4
Russell a.a.O. (siehe Fußnote 1, Seite [*])
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... beweisen.5.5
Der Beweis für das Argument $\vdash a=a$ ist sehr kurz:

       
  (1) $a=a$ $=E$
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... Bedeutung5.6
in: Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik, NF 100, 1892, Seite 25 ff, abgedruckt z.B. in Karel Berka/Lothar Kreiser: Logik-Texte. Kommentierte Auswahl zur Geschichte der modernen Logik, Berlin: Akademie $^4$1986, Seite 423 ff.
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... ausschlaggebend.5.7
Diese Aussage gilt dann uneingeschränkt, wenn der Name transparent (,,in seiner geraden Bedeutung``) vorkommt. In einem opaken Kontext (unter Anführungszeichen oder in indirekter Rede) ändert ein Name seine Bedeutung$_F$. Für nähere Informationen verweise ich auf die Originalarbeit (siehe Fußnote 6, Seite [*]).
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... sind.5.8
Dies wird sehr überzeugend dargelegt in Alonzo Church: Introduction to Mathematical Logic. Volume I, Princeton, New Jersey: 1956, $^6$1970 (=Princeton Mathematical Series 17), Chapter 0, Seite 25 ff.
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... existieren.5.9
Zu diesem Thema möchte ich mich nicht weiter ausbreiten, weil es nicht ins Gebiet der Logik, sondern der Metaphysik fällt. Ich möchte den Leser lediglich darauf hinweisen, dass die U-Bahn-Züge, die ihn zur Universität bringen, von einem Computerprogramm gesteuert werden, das physikalisch gesehen genauso wenig existiert wie die Sinne$_F$ von Sätzen. Die Tatsache, dass er dennoch stets heil am Ziel seiner Fahrt angelangt ist, möge ihn dem Fregeschen Sinn gewogen stimmen.
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... Bedeutung5.10
siehe Fußnote 6 (Seite [*])
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....5.11
vgl. Benson Mates: Stoic Logic, Berkeley: University of California Press 1953 (=University of California Publications in Philosophy 26), Seite 11 ff.
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... Carnaps5.12
Rudolf Carnap: Meaning and Necessity. A Study in Semantics and Modal Logic, Chicago: University of Chicago Press 1956, reprint Midway 1988
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