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Regel der Oder-Beseitigung ($\vee B$)

Wenn ein Satz aus jedem Disjunkt einer Disjunktion folgt, dann folgt er aus der Disjunktion erst recht.

(a) $\varphi \vee \psi$
(b) $ [ \varphi ]$
   
(c) $ \chi $
(d) $ [ \psi ] $
   
(e) $ \chi $
(f) $ \chi $

Die mit (a) gekennzeichnete Disjunktion besteht aus den Disjunkten $\varphi$ und $\psi$. Das erste Disjunkt, $\varphi$, wird in der mit (b) gekennzeichneten Zeile angenommen (deshalb die eckigen Klammern). Aus dieser Annahme wird die gewünschte Konklusion, $ \chi $, die in Zeile (c) aufscheint, hergeleitet. Anschließend wird in Zeile (d) das zweite Disjunkt, $\psi$, angenommen. Auch aus ihm wird die gewünschte Konklusion, $ \chi $, hergeleitet. Nachdem all das geschehen ist, steht fest, dass die gewünschte Konklusion, $ \chi $, aus der gesamten Disjunktion erst recht folgt. Sie wird daher in der Ergebniszeile (f) ein weiteres Mal angeführt.

Zitiert werden in Zeile (f) folgende Zeilen:

Das Ergebnis einer Anwendung der Regel der Oder-Beseitigung hängt von folgenden Zeilen ab:

Beispiel:
1 (1) $(P \wedge Q) \vee (P \wedge R)$ $A$ (a)
2 (2) $P \wedge Q$ $A$ (b)
2 (3) $P$ $2\wedge{B}$ (c)
4 (4) $P \wedge R$ $A$ (d)
4 (5) $P$ $4\wedge{B}$ (e)
1 (6) $P$ $1,2,3,4,5\vee{B}$  

Die Disjunktion (a) lautet $(P \wedge Q) \vee (P \wedge R)$. Ihr erstes Disjunkt, $(P \wedge Q)$, wird in Zeile (b) - im Beispiel (2) - angenommen. In einem einzigen Schritt gelingt es, daraus die gewünschte Konklusion (c) - im Beispiel (3) - herzuleiten. Das ist schön.

Danach wird das zweite Disjunkt, $(P \wedge R)$, in Zeile (d) - im Beispiel (4) - angenommen. Auch aus ihm kann in einem einzigen Schritt die gewünschte Konklusion (e) - im Beispiel (5) - hergeleitet werden.

Nun steht fest, dass die gewünschte Konklusion aus der Disjunktion folgt; erstere wird daher in der Ergebniszeile - im Beispiel (6) - noch einmal angeschrieben.

Beispiel:
Es regnet, und ich gehe ins Kino; oder
es ist schönes Wetter, und ich gehe ins Kino.
Also gehe ich in jedem der beiden Fälle ins Kino.

Inhaltlich motiviert sich die Regel der Oder-Beseitigung wie folgt:

Eine Disjunktion besagt, dass mindestens eines ihrer beiden Disjunkte zutrifft. Leider sieht man einer Disjunktion nicht an, welches Disjunkt das zutreffende ist. Um aus einer Disjunktion etwas schließen zu können, müssen wir daher beide Fälle berücksichtigen; diese Fallunterscheidung nimmt unsere Oder-Beseitigung vor, indem sie zuerst den einen Fall ansetzt (das erste Disjunkt trifft zu) und anschließend den zweiten Fall (das zweite Disjunkt trifft zu). Wenn in jedem der beiden Fälle dasselbe bewiesen werden kann (die ,,gewünschte Konklusion``), dann gilt das Bewiesene unbedingt: Denn mehr als die beiden untersuchten Fälle gibt es nicht, und was in jedem Fall gilt, das gilt jedenfalls.3.11


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Christian Gottschall 2003-03-19