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Regel der Negationseinführung ($\neg E$, schwache reductio ad absurdum)

Eine Annahme, die zu einem Widerspruch führt, ist fehlerhaft und darf verneint werden.

Anmerkung: Ein Widerspruch ist ein Satz der Form $(\varphi \wedge
\neg \varphi)$.

$ [ \varphi ]$
 
$(\psi \wedge \neg \psi)$
$\neg \varphi$

Zitiert wird die Annahme, die zum Widerspruch geführt hat, und der Widerspruch selbst.

Das Ergebnis $\neg \varphi$ einer Anwendung der Negationseinführung hängt von allen Annahmen ab, von denen der Widerspruch abhängt, außer der Annahme, die für den Widerspruch verantwortlich gemacht wird.

Beispiel:
1 (1) $P \rightarrow Q$ $A$
2 (2) $\neg Q$ $A$
3 (3) $P$ $A$
1,3 (4) $Q$ $1,3
\rightarrow B$
1,2,3 (5) $Q \wedge \neg Q$ $2,4
\wedge E$
1,2 (6) $\neg P$ $3,5\neg E$

In diesem Beispiel tritt in der Zeile (5) ein Widerspruch auf, $Q \wedge \neg Q$. Dieser Widerspruch hängt - das sagt uns seine Prämissenliste - von den Annahmen (1), (2) und (3) ab. Da ein Widerspruch nicht zutreffen kann, muss eine der Annahmen, die zu ihm geführt haben, unzutreffend sein. Welche Annahme das ist, bleibt dem Urteil der Schließenden überlassen; in unserem Beispiel hat sie sich dafür entschieden, Annahme (3) als den Übeltäter zu identifizieren und folglich zu verneinen; das Verneinen geschieht in Zeile (6). Die schuldige Annahme, (3), scheint auch nicht mehr in der Prämissenliste von Zeile (6) auf.


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Christian Gottschall 2003-03-19