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Regel der Allquantor-Einführung ($\bigwedge E$)

Wenn sich zeigen lässt, dass ein Satz für ein völlig beliebig gewähltes Individuum gilt, dann gilt er für jedes Individuum.

$\varphi (\iota)$
$\bigwedge \alpha \varphi ( {\iota \over \alpha} )$

Hierbei ist $\iota$ ein beliebiger Name und $\alpha$ eine Individuenvariable. $\varphi (\iota)$ ist ein Satz, in dem $\iota$ vorkommt und in dem $\alpha$ nicht vorkommt. $\varphi ( {\iota \over \alpha} )$ ist der Satz, der entsteht, wenn jedes Vorkommnis von $\iota$ in $\varphi (\iota)$ durch $\alpha$ ersetzt wird.

Einschränkung:
Der beliebige Name $\iota$ darf in keiner Annahme vorkommen, von der die Konklusion, $\bigwedge \alpha \varphi ( {\iota \over \alpha} )$, abhängt; andernfalls wäre ja ein bestimmtes Individuum gewählt, nämlich das, für das die Annahme gilt.

Das Ergebnis einer Anwendung der Allquantor-Einführung hängt von allen Annahmen ab, von denen der Satz abhängt, auf den die Regel angewandt wurde.

Beispiel:
1 (1) $\bigwedge x (Fx \rightarrow Gx)$ $A$
2 (2) $\bigwedge xFx$ $A$
1 (3) $Fu \rightarrow Gu$ $1\bigwedge B$
2 (4) $Fu$ $2\bigwedge B$
1,2 (5) $Gu$ $3,4\rightarrow
B$
1,2 (6) $\bigwedge xGx$ $5 \bigwedge E$

Das Ergebnis der $\bigwedge E$, Zeile (6), hängt ab von den Annahmen (1) und (2). In keiner von beiden tritt das beliebige Individuum $u$ auf, daher ist der Schritt der $\bigwedge E$ zulässig.


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Christian Gottschall 2003-03-19