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Regel der Allquantor-Beseitigung ($\bigwedge B$)

Wenn eine Behauptung auf jedes Individuum zutrifft, dann trifft sie auf ein einzelnes konkretes Individuum ,,erst recht`` zu.

$\bigwedge \alpha \varphi(\alpha)$
$\varphi({\alpha \over \iota})$

$\alpha$ ist eine Individuenvariable, $\iota$ ist eine Individuenkonstante oder ein beliebiger Name und $\varphi(\alpha)$ ein Satz, in dem $\alpha$ vorkommt. $\varphi({\alpha \over \iota})$ ist der Satz, der entsteht, wenn in $\varphi(\alpha)$ jedes Vorkommnis von $\alpha$ durch $\iota$ ersetzt wird.

Beispiel:
1 (1) $\bigwedge xFx$ $A$
1 (2) $Fa$ $1\bigwedge B$
Beispiel:
Alles ist eitel.
Also ist Logik eitel.

Die Allquantor-Beseitigung hat eine gewisse Verwandtschaft zur Und-Beseitigung. Wenn es nur endlich viele Dinge gibt, dann ist eine Allaussage der Form ,,Alle Individuen sind sterblich`` äquivalent zur Aussage ,,Das erste Individuum ist sterblich, und das zweite Individuum ist sterblich, und das dritte Individuum ist sterblich, und das vierte Individuum ist sterblich, und das fünfte Individuum ist sterblich, und das sechste Individuum ist sterblich, und das siebente Individuum ist sterblich, und das achte Individuum ist sterblich, und das neunte Individuum ist sterblich, und das zehnte Individuum ist sterblich, und das elfte Individuum ist sterblich, und das zwölfte Individuum ist sterblich, ..., und das zweiundvierzigste Individuum ist sterblich, ..., und das letzte Individuum ist auch sterblich``. Diese Aussage ist eine Konjunktion. Aus ihr mittels einer Und-Beseitigung zu schließen ist dasselbe wie aus der Allaussage mit der Allquantor-Beseitigung zu schließen.

Die Äquivalenz zwischen einer Allaussage und einer Konjunktion geht im allgemeinen Fall, in dem es unendlich viele Individuen geben kann oder in dem man gar nicht weiß, wieviele Individuen es nun tatsächlich gibt, verloren, denn weder kann man eine unendlich lange Konjunktion äußern, noch kann man eine Konjunktion aufschreiben, ohne zu wissen, wieviele Konjunkte sie hat. Dennoch sollte man nicht völlig verdrängen, dass es einen Zusammenhang zwischen beiden gibt.


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Christian Gottschall 2003-03-19