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Regel der Existenzquantor-Beseitigung ($\bigvee B$)

Aus einer Existenzbehauptung lässt sich mit Hilfe eines beliebigen Namens schließen. Wenn aus der Annahme, der behauptete Satz treffe auf ein völlig beliebig gewähltes Individuum zu, die gewünschte Konklusion folgt, so folgt sie auch aus der Existenzbehauptung selbst.

Eine Existenzbehauptung sagt aus, dass ein Satz3.13 $\varphi$ auf mindestens ein Individuum zutrifft. Sie verrät uns weder, wieviele solche Individuen es gibt, noch, um welche Individuen es sich dabei handelt. Um aus der Existenzbehauptung dennoch etwas schließen zu können, greifen wir willkürlich eines der Individuen, auf die der Satz $\varphi$ zutrifft, heraus und benennen es mit einem beliebigen Namen - ohne dabei festzulegen oder zu wissen, um welches konkrete Individuum es sich handelt. Wenn es uns gelingt, aus dieser vagen Aussage ,,Der Satz $\varphi$ trifft auf das Individuum $u$ zu, ohne dass wir wissen, was $u$ eigentlich ist`` irgendetwas zu schließen, dann folgt es tatsächlich aus der Existenzbehauptung.

(a)   $\bigvee \alpha \varphi(\alpha)$    
(b)   $[\varphi({\alpha \over \iota})]$   ,,typisches Disjunkt``
         
(c)   $\psi$    
(d)   $\psi$    

$\alpha$ ist eine Individuenvariable, $\iota$ ein beliebiger Name und $\varphi(\alpha)$ ein Satz, in dem $\alpha$ vorkommt. $\varphi({\alpha \over \iota})$ ist der Satz, der entsteht, wenn in $\varphi(\alpha)$ jedes Vorkommnis von $\alpha$ durch $\iota$ ersetzt wird.

Einschränkung:
Der beliebige Name $\iota$ darf weder in der Existenzbehauptung oder in der Konklusion, $\psi$, noch in einer der Annahmen vorkommen, von denen die Konklusion, $\psi$, in ihrer Herleitung aus dem typischen Disjunkt, $\varphi({\alpha \over \iota})$, abhängt, außer natürlich in $\varphi({\alpha \over \iota})$ selbst.

Bei einer Anwendung der Regel der Existenzquantor-Beseitigung werden folgende Zeilen zitiert:

Das Ergebnis einer Existenzquantor-Beseitigung hängt ab von:

Beispiel:
1 (1) $\bigvee x(Fx \wedge Gx)$ $A$ (a)
2 (2) $Fu \wedge Gu$ $A$ (b)
2 (3) $Fu$ $2\wedge B$  
2 (4) $\bigvee xFx$ $3\bigvee E$ (c)
1 (5) $\bigvee xFx$ $1,2,4\bigvee B$  

So wie die Allquantor-Beseitigung mit der Und-Beseitigung verwandt ist (vgl. Kapitel 3.6.11, Seite [*]), besteht eine Beziehung zwischen der Existenzquantor-Beseitigung und der Oder-Beseitigung.

Wenn es nur endlich viele Individuen gibt, dann ist eine Existenzaussage äquivalent zu einer Disjunktion.

Beispiel:
Nehmen wir an, es gebe nur drei Dinge, die wir der Einfachheit halber $a$, $b$ und $c$ nennen wollen. In diesem Fall ist die Aussage ,,Es gibt mindestens ein Nilpferd`` gleichwertig mit der Aussage ,,Das Ding $a$ ist ein Nilpferd, oder das Ding $b$ ist ein Nilpferd, oder das Ding $c$ ist ein Nilpferd`` (dabei ist das ,,Oder`` nichtausschließend, denn es könnte ja mehr als ein Ding ein Nilpferd sein).

Da die Disjunkte einer solchen Disjunktion dieselbe Form haben (in obigem Beispiel ,,...ist ein Nilpferd``) und sich nur darin unterscheiden, von welchem Individuum sie sprechen, wäre es Verschwendung von Arbeitskraft, eine vollständige Oder-Beseitigung auszuführen. Bei der Existenzquantor-Beseitigung wird die Oder-Beseitigung sozusagen nicht für jedes Disjunkt ausgeführt, sondern nur ein einziges Mal für ein einziges Disjunkt, das aber repräsentativ für alle anderen Disjunkte sein muss - das typische Disjunkt. Um ein solches typisches Disjunkt zu erhalten, verwendet man anstelle eines konkreten Namens (im obigen Beispiel $a$, $b$ oder $c$) einen beliebigen Namen (z.B. $u$), der für ein völlig beliebiges Individuum steht.

Dient die Existenzquantor-Beseitigung bei einem endlichen Individuenbereich mehr der Bequemlichkeit (lange Disjunktionen sind unhandlich zu schreiben und zu beseitigen), ist sie im allgemeinen Fall, in dem es unendlich viele Individuen gibt oder in dem die Individuenzahl nicht bekannt ist, unerläßlich: Eine unendlich lange Disjunktion oder eine Disjunktion mit einer unbekannten Zahl von Disjunkten lässt sich nicht aufschreiben und daher erst recht nicht beseitigen. Hier ist ein typisches Disjunkt, das alle Disjunkte der fiktiven unendlich langen Disjunktion vertritt, unerläßlich.


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Christian Gottschall 2003-03-19