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Grundbegriffe

Eine Aussage ist ein Satz einer natürlichen Sprache, der wahr oder falsch sein kann. In der Linguistik wird statt des Wortes ,,Aussage`` häufig ,,deklarativer Satz`` gebraucht. Aussagen sind ,,Es regnet``, ,,5+5=22`` oder ,,Es gibt keine größte Primzahl``. Keine Aussagen sind Sätze wie ,,Wie spät ist es¿`, ,,Mahlzeit¡` oder ,,Blubb``.

Oft werden die Wörter ,,Aussage`` und ,,Satz`` in logischen Texten synonym gebraucht, so auch im vorliegenden. Das Wort ,,Satz`` bezeichnet daher von nun an nicht mehr irgendwelche Sätze, sondern nur noch Aussagen.

Ein Axiom ist eine Aussage, an die man so fest glaubt, dass man es nicht für nötig hält, sie zu beweisen.

Eine Aussage, die aus logischen Gründen stets wahr ist, wird Tautologie genannt.

Ein Argument ist eine Aneinanderreihung von Sätzen (Aussagen!). Einer dieser Sätze (in der Regel der letzte) ist die Konklusion, alle übrigen sind die Prämissen. Ein Argument ist gültig, wenn die Konklusion aus den Prämissen folgt, und ungültig, wenn dies nicht der Fall ist. Es gibt auch Argumente, in denen es eine Konklusion, aber keine Prämissen gibt.

Beispiel für ein gültiges Argument mit zwei Prämissen:

  Alle Menschen sind sterblich. erste Prämisse
  Sokrates ist ein Mensch. zweite Prämisse
  Also ist Sokrates sterblich. Konklusion

Beispiel für ein gültiges Argument ohne Prämissen:

  Entweder es regnet, oder es regnet nicht.  

Beispiel für ein ungültiges Argument ohne Prämissen:

  Logik ist uninteressant.  

\framebox{\emph{Logik untersucht die Gültigkeit von Argumenten.}}

In diesem Skriptum wird eine logische Sprache vorgestellt, die Sprache der Prädikatenlogik der ersten Stufe mit Identität. Eine Definition ist an dieser Stelle leider noch nicht möglich.

Als Aussagenlogik wird jener Teil der Prädikatenlogik bezeichnet, der die Beziehungen untersucht, die zwischen Aussagesätzen bestehen. Da die Aussagenlogik ein echtes Teilgebiet der Prädikatenlogik ist, wird in diesem Skriptum grundsätzlich jene behandelt und werden an geeigneter Stelle die Einschränkungen dieser genannt. Für den Anfang muss ich mich auf die Feststellung beschränken, dass die Prädikatenlogik im Gegensatz zur Aussagenlogik auch die innere Struktur der Aussagen näher betrachtet.2.1

Wenn man sich wissenschaftlich mit einer Sprache beschäftigt, dann ist es wichtig, zwischen Objektsprache und Metasprache zu unterscheiden. Die Objektsprache ist jene Sprache, die der Gegenstand (das Objekt) der Untersuchung ist - in unserem Fall also die logische Sprache. Die Metasprache ist diejenige Sprache, in der über die Objektsprache gesprochen wird, mit anderen Worten die Sprache, in der die ,,Forschungsergebnisse`` ausgedrückt werden. In unserem Fall handelt es sich bei der Metasprache um die deutsche Sprache. Bei der Untersuchung einer natürlichen Sprache können Objekt- und Metasprache zusammenfallen; so ist es ohne weiteres möglich (und trägt sich auch oft zu), dass eine Grammatik der englischen Sprache selbst in Englisch verfasst ist.

Als Syntax wird die Lehre von der ,,Form`` einer natürlichen oder künstlichen Sprache bezeichnet. Syntax beschäftigt sich zum Beispiel mit der Frage, wie die Wörter (allgemeiner: Bausteine) einer Sprache angeordnet werden müssen, damit Sätze entstehen. Anstelle des Wortes ,,Syntax`` wird bei einer logischen Sprache auch das Wort ,,Morphologie`` gebraucht.

Semantik ist die Lehre von der Bedeutung einer Sprache. Sie untersucht insbesondere, welche Bedeutung die einzelnen Bausteine einer Sprache und welche Bedeutung Sätze haben, die aus diesen Bausteinen geformt werden.

Pragmatik untersucht, welche Wirkung die Bausteine und Sätze einer Sprache auf den Hörer bzw. Leser haben. Die Pragmatik wird üblicherweise nicht zur formalen Logik gezählt und kommt in diesem Skriptum nicht zur Sprache.

Die Bausteine einer Sprache sind jene ,,Dinge``, aus denen die Sätze dieser Sprache zusammengesetzt sind.

Als Bausteine einer natürlichen Sprache kann man ihre Wörter und Interpunktionszeichen betrachten. Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Wörter ihrerseits als zusammengesetzt zu betrachten und nicht sie, sondern die Buchstaben und Interpunktionszeichen als Bausteine zu betrachten.

In einer künstlichen logischen Sprache stellt sich die Frage, ob Wörter oder Buchstaben als ihre Bausteine betrachtet werden sollen, in der Regel nicht, weil ,,Wörter`` und ,,Buchstaben`` zusammenfallen.

Formationsregeln geben an, wie die Bausteine einer Sprache angeordnet werden müssen, damit Sätze dieser Sprache entstehen.

Die Linguistik (Sprachwissenschaft) beschäftigt sich unter anderem damit, Formationsregeln für natürliche Sprachen aufzustellen. Es ist bis heute nicht gelungen, irgendeine natürliche Sprache durch Formationsregeln vollständig zu beschreiben.

Transformationsregeln beschreiben, auf welche Weise Sätze umgeformt werden dürfen, ohne dass sie bestimmte Eigenschaften, die sie vor der Umformung hatten, verlieren. Im Fall der hier vorgestellten logischen Sprache sind die Transformationsregeln so gewählt, dass bestehende Sätze nur zu solchen Sätzen umgeformt werden können, die aus den bestehenden Sätzen folgen.

Ein Kalkül ist ein System, das die Syntax einer logischen Sprache festlegt:

Abbildung 2.1: Komponenten einer logischen Sprache
\begin{figure}\centerline{\psfig{figure=kalkuel.ps}}
\end{figure}


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Christian Gottschall 2003-03-19