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Wahrheitstafeln

Wahrheitstafeln oder Wahrheitstabellen sind eine tabellarische (daher der Name) und hoffentlich übersichtliche Darstellung aller möglichen Wahrheitswertzuordnungen für die Satzbuchstaben einer Aussage. Es gibt Hinweise darauf, dass bereits die Stoiker Wahrheitstafeln verwendet haben.4.2 In unserer Zeit wurden Wahrheitstabellen vom amerikanischen Philosophen Charles Sanders Peirce4.3 neu entdeckt.

Wenn eine Aussage aus $n$ Satzbuchstaben zusammengesetzt ist, dann kann jedem von ihnen der Wert $W$ oder $F$ zugeordnet werden. Gibt es nur einen einzigen Satzbuchstaben, z.B. $P$, dann gibt es nur zwei mögliche Zuordnungen: $P \over W$ und $P \over F$. Mit jedem weiteren Satzbuchstaben verdoppelt sich die Zahl der Möglichkeiten, weil in jedem der bisherigen Fälle der neue Satzbuchstabe ebenfalls entweder $W$ oder $F$ annehmen kann. Allgemein gibt es bei $n$ Satzbuchstaben daher $\underbrace{2 \times \ldots \times 2}_{n-mal}$, d.h. $2^n$ verschiedene Wahrheitswertzuordnungen.

Eine Wahrheitstafel für einen einzigen Satzbuchstaben schreibt man auf, indem man beide möglichen Zuordnungen für diesen Satzbuchstaben untereinander schreibt:

\(\begin{array}{c}
P \\ \cline{1-1}
W \\
F
\end{array}\)

Wenn nun ein weiterer Satzbuchstabe hinzukommt, spaltet man jede der bisherigen Möglichkeiten auf:

\(\begin{array}{cc}
P & Q \\ \cline{1-2}
W & W \\
& F \\
F & W \\
& F
\end{array}\)

Diesen Schritt kann man beliebig oft wiederholen:

\(\begin{array}{ccc}
P & Q & R \\ \cline{1-3}
W & W & W \\
& & F \\
& F & W \\
& & F \\
F & W & W \\
& & F \\
& F & W \\
& & F
\end{array}\)

Der Übersichtlichkeit zuliebe füllt man die Leerstellen, die durch das Aufspalten einer Ausgangsmöglichkeit entstanden sind, mit den entsprechenden Wahrheitswerten:

\(\begin{array}{ccc}
P & Q & R \\ \cline{1-3}
W & W & W \\
W & W & F \\
W ...
... F & F \\
F & W & W \\
F & W & F \\
F & F & W \\
F & F & F
\end{array}\)

Wenn man am Anfang Schwierigkeiten mit dem Aufschreiben einer Wahrheitstabelle hat, geht man am besten folgendermaßen vor:

Man beginnt mit dem äußersten rechten Satzbuchstaben und schreibt abwechselnd $W$ und $F$ in die jeweils nächste freie Zeile seiner Spalte, bis man $2^n$ ($n$ ist die Zahl der Satzbuchstaben) Zeilen gefüllt hat. Anschließend setzt man fort mit dem linken Nachbarn des Ausgangssatzbuchstaben, nur verdoppelt man bei ihm die Zahl der in jedem Schritt geschriebenen $W$ und $F$; d.h. statt in eine Zeile ein $W$ und in die nächste Zeile ein $F$ zu schreiben, schreibt man nun in zwei aufeinanderfolgende Zeilen je ein $W$ und danach in die nächsten beiden aufeinanderfolgenden Zeilen je ein $F$. Damit fährt man fort, bis man bei der letzten Zeile angelangt ist.

Auf diese Weise setzt man, in jeder Zeile die Zahl der aufeinanderfolgenden $W$ bzw. $F$ gegenüber der zuvor geschriebenen Zeile verdoppelnd, fort, bis man alle Spalten gefüllt hat.

Wer Freude an binärer Arithmetik hat, kann sich beim Aufstellen einer Wahrheitstabelle noch leichter behelfen, indem er binär von $2^n-1$ auf $0$ hinabzählt. Jede der Binärzahlen drückt eine der Zeilen der Wahrheitstabelle aus; jede Binärstelle einer Binärzahl benennt den Wert der entsprechenden Spalte dieser Zeile der Wahrheitstabelle: Lautet sie $1$, schreibt man ein $W$, andernfalls ein $F$ in die entsprechende Spalte.

Um eine Wahrheitstabelle für drei Satzbuchstaben aufzuschreiben, müsste man daher mit $2^3-1=7$, binär $111$, beginnen. Die dezimalen und binären Zahlen sowie die entsprechenden Zeilen der Wahrheitstafel lauten wie folgt:

\(\begin{array}{c\vert c\vert ccc}
7 & 111 & W & W & W \\
6 & 110 & W & W & F...
...010 & F & W & F \\
1 & 001 & F & F & W \\
0 & 000 & F & F & F
\end{array}\)

Üblicherweise schreibt man eine Wahrheitstafel nicht nur zum Vergnügen auf, sondern als Hilfe, um den Wahrheitswertverlauf eines Satzes verfolgen zu können. Betrachten wir als Beispiel den Satz $P \wedge Q$. Da dieser Satz nur zwei Satzbuchstaben enthält, gibt es $2^2$, also vier verschiedene Zuordnungen von Wahrheitswerten zu diesen Satzbuchstaben. Wir stellen eine Wahrheitstabelle auf:

\(\begin{array}{cc}
P & Q \\ \cline{1-2}
W & W \\
W & F \\
F & W \\
F & F
\end{array}\)

Da uns der Werteverlauf für den Satz $P \wedge Q$ interessiert, fügen wir unserer Tabelle für ihn eine weitere Spalte hinzu:

\(\begin{array}{cc\vert r@{}c@{}l}
P & Q & P & \wedge & Q \\ \cline{1-5}
W & W & & ? & \\
W & F & & ? & \\
F & W & & ? & \\
F & F & & ? &
\end{array}\)

An die Stelle jedes Fragezeichens wollen wir den Wahrheitswert schreiben, den der Satz $P \wedge Q$ für die in der betroffenen Zeile genannte Zuordnung annimmt.

Die erste Zeile der Wahrheitstabelle drückt die Zuordnung ${P \over W}
{Q \over W}$ aus. Nach der Definition in Kapitel 4.1.2 (Seite [*]) ist eine Konjunktion wahr, wenn beide Konjunkte wahr sind. Wir können damit die erste Zeile ergänzen:

\(\begin{array}{cc\vert r@{}c@{}l}
P & Q & P & \wedge & Q \\ \cline{1-5}
W & W...
...hbf{W} & \\
W & F & & ? & \\
F & W & & ? & \\
F & F & & ? &
\end{array}\)

Da nach der Definition in Kapitel 4.1.2 eine Konjunktion in allen anderen Fällen falsch ist, fällt es uns nicht schwer, die Tabelle fertigzustellen:

\(\begin{array}{cc\vert r@{}c@{}l}
P & Q & P & \wedge & Q \\ \cline{1-5}
W & W...
...thbf{F} & \\
F & W & & \mathbf{F} & \\
F & F & & \mathbf{F} &
\end{array}\)

Nach dieser Vorbereitung sind wir in der Lage, für alle Konnektive unserer logischen Sprache Wahrheitstafeln aufzuschreiben:

\(\begin{array}{cc\vert r@{}c@{}l}
P & Q & P & \wedge & Q \\ \cline{1-5}
W & W & & W & \\
W & F & & F & \\
F & W & & F & \\
F & F & & F &
\end{array}\)

\(\begin{array}{cc\vert r@{}c@{}l}
P & Q & P & \vee & Q \\ \cline{1-5}
W & W & & W & \\
W & F & & W & \\
F & W & & W & \\
F & F & & F &
\end{array}\)

\(\begin{array}{cc\vert r@{}c@{}l}
P & Q & P & \rightarrow & Q \\ \cline{1-5}
...
... & & W & \\
W & F & & F & \\
F & W & & W & \\
F & F & & W &
\end{array}\)

\(\begin{array}{c\vert r@{}l}
P & \neg & P \\ \cline{1-3}
W & F & \\
F & W &
\end{array}\)

Je komplexer ein Satz ist, desto mehr Arbeit bedeutet es, für ihn eine Wahrheitstafel aufzustellen. Versuchen wir unser Glück an $(P \rightarrow Q) \vee R$. Dieser Satz ist eine Disjunktion; das linke Disjunkt ist das Konditional $P \rightarrow Q$, das rechte Disjunkt der Satzbuchstabe $R$. Da in diesem Satz drei Satzbuchstaben auftreten, wird die Wahrheitstabelle $2^3$, also acht Zeilen umfassen:

\(\begin{array}{ccc\vert c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c}
P & Q & R & (P & \rightarro...
...& & & & ? & \\
F & F & W & & & & ? & \\
F & F & F & & & & ? &
\end{array}\)

Um die Wahrheitstabelle für die Disjunktion bilden zu können, müssen wir den Wahrheitswert des linken und den des rechten Disjunkts kennen. Das rechte Disjunkt ist der Satzbuchstabe $R$; sein Wahrheitswert steht bereits in der $R$-Spalte. Um die Übersicht nicht zu verlieren, schreiben wir den Wert dennoch unter das rechte Disjunkt:

\(\begin{array}{ccc\vert c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c}
P & Q & R & (P & \rightarro...
... & ? & F \\
F & F & W & & & & ? & W \\
F & F & F & & & & ? & F
\end{array}\)

Diese Information reicht noch nicht aus, um den Wahrheitswert der Disjunktion zu berechnen; wir benötigen noch den Wahrheitswert des linken Disjunkts, also des Konditionals $P \rightarrow Q$. Um ihn zu errechnen, benötigen wir Kenntnis der Wahrheitswerte von Antecedens und Konsequens. Da beide Satzbuchstaben sind, können wir ihren Wahrheitswert sofort anschreiben:

\(\begin{array}{ccc\vert c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c}
P & Q & R & (P & \rightarro...
...? & F & \mathbf{?} & W \\
F & F & F & F & ? & F & \mathbf{?} & F
\end{array}\)

Mittels der Definition des Konditionals (Kapitel 4.1.2, Seite [*]) können wir nun den Wahrheitswertverlauf des linken Disjunkts, d.h. des Konditionals  $P \rightarrow Q$, errechnen:

\(\begin{array}{ccc\vert c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c}
P & Q & R & (P & \rightarro...
...
F & F & W & F & W & F & ? & W \\
F & F & F & F & W & F & ? & F
\end{array}\)

Ehe wir den Wahrheitswert der Disjunktion berechnen, lassen wir zur besseren Übersicht die Spalten mit den Zwischenergebnissen wieder weg:

\(\begin{array}{ccc\vert c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c}
P & Q & R & (P & \rightarro...
... & F \\
F & F & W & & W & & ? & W \\
F & F & F & & W & & ? & F
\end{array}\)

Da wir nun den Werteverlauf sowohl des linken als auch des rechten Disjunkts kennen, können wir den der Disjunktion ausrechnen:

\(\begin{array}{ccc\vert c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c}
P & Q & R & (P & \rightarro...
...W & & W & & \mathbf{W} & W \\
F & F & F & & W & & \mathbf{W} & F
\end{array}\)

In der Theorie schreibt man, sobald man ein wenig Übung hat, nicht mehr alle Zwischenergebnisse auf; man sollte dabei aber nicht zu weit gehen, weil man leichter die Übersicht verliert, als man vielleicht den Eindruck hat. In der Praxis schreibt man, sobald man ein wenig Übung hat, überhaupt keine Wahrheitstafeln mehr auf. Diese mechanische und fehleranfällige Arbeit nimmt einem mühelos jeder Computer ab.

Ein Satz, der ungeachtet der Wahrheitswerte der in ihm vorkommenden Satzbuchstaben immer wahr ist, heißt Tautologie.

Eine Tautologie ist z.B. der Satz $(P \wedge Q) \rightarrow Q$:

\(
\begin{array}{cc\vert rcl}
P & Q & (P \wedge Q) & \rightarrow & Q \\ \cline{1...
... & W & & W & \\
W & F & & W & \\
F & W & & W & \\
F & F & & W &
\end{array}\)


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Christian Gottschall 2003-03-19