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Syntaktischer Schlussbegriff

Mit Hilfe der Transformationsregeln ist es möglich, ein Argument, das zuvor in die logische Sprache übersetzt wurde, auf seine Gültigkeit hin zu untersuchen: Wenn es möglich ist, aus den Prämissen durch (mehrfache) Anwendung der Transformationsregeln die Konklusion herzuleiten, dann ist das Argument syntaktisch gültig.

Es gibt verschiedene Konventionen, eine solche Herleitung oder Ableitung aufzuschreiben. Im vorliegenden Text wird folgendermaßen vorgegangen:

Jeder Satz der Ableitung (d.h. jede Prämisse, die Konklusion und alle Sätze, die in Zwischenschritten gewonnen wurden) wird in eine eigene Zeile geschrieben und erhält eine fortlaufende Nummer, die in Klammern gesetzt wird:

  (1) erster Satz  
  (2) zweiter Satz  
    und so weiter  

Links der Zeilennummer jedes Satzes werden die Nummern aller Annahmen aufgezählt, von denen der Satz abhängt (d.h. auf denen er beruht, d.h. aus denen er folgt). Diese Aufzählung nennt man daher die Prämissenliste der aktuellen Zeile. Nehmen wir an, in einer (informellen) Ableitung trete folgende Zeile auf:

1,4,7 (10) Alles ist eitel.  

Die Nummer dieser Zeile ist 10, und ihre Prämissenliste lautet ,,1,4,7``. In Worten bedeutet das nichts anderes als: Satz (10), also der Satz ,,Alles ist eitel``, folgt aus den Annahmen (1), (4) und (7).

Zur Rechten jedes Satzes werden (a) die Nummern derjenigen Sätze genannt, aus denen, und (b) die Regel, mit deren Hilfe der Satz gewonnen wurde; dazu im Folgenden mehr.

Eine Ableitung, deren letzte Zeile von keiner Annahme abhängt, deren letzte Zeile also eine leere Prämissenliste hat, heißt Beweis. Der Satz in der letzten Zeile eines Beweises heißt Theorem.

Beispiel:
(10) Es regnet, oder es regnet nicht.
  Die leere Prämissenliste sagt aus:
  ,,Die Zeile (10) gilt voraussetzungslos``.

Um die syntaktische Gültigkeit eines Arguments auszudrücken, verwendet man das Zeichen $\vdash$. Man schreibt die Prämissen durch Beistriche getrennt zu seiner Linken, die Konklusion zu seiner Rechten. Ein durchgestrichenes Folgerungszeichen, $\not\vdash$, bedeutet, dass das Argument nicht syntaktisch gültig ist.


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Christian Gottschall 2003-03-19