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Übersetzung von Quantoren

In der Sprache der Prädikatenlogik gibt es genau zwei Quantoren, nämlich $\bigwedge$, den Allquantor, und $\bigvee$, den Existenzquantor. Der Allquantor sagt aus, dass ein Prädikat wahr wird, auf welches Individuum auch immer er angewandt wird. Der Existenzquantor sagt aus, dass es mindestens ein Individuum gibt, auf das das Prädikat zutrifft.

Um einen quantifizierten Satz der natürlichen Sprache in die logische Sprache zu übersetzen, geht man am besten schrittweise vor:

(1) Alles ist eitel.
(2) Jedes Ding ist eitel.
(3) Für jedes Ding gilt, dass es eitel ist.
(4) Für jedes Ding $x$ gilt, dass $x$ eitel ist.
(5) Für jedes Ding $x$ gilt: $x$ ist eitel.
(6) $\bigwedge x$: $x$ ist eitel.
(7) $\bigwedge xFx$, wobei ,,$F$`` bedeuten soll: ,, ist eitel``.

Etwas schwieriger zu übersetzen sind Sätze wie ,,Es gibt genau einen Philosophen``, oder ,,Es gibt höchstens einen Philosophen``. Der Leser wird gebeten, sich vor dem Weiterlesen selbst an diesen Sätzen zu versuchen.

Der einfachere der beiden Sätze ist ,,Es gibt höchstens einen Philosophen``. Eine Paraphrase könnte lauten ,,Für jedes Ding gilt: Wenn es ein Philosoph ist, dann muss jeder andere Philosoph mit diesem Ding identisch sein (wäre dem nicht so, dann gäbe es ja mehr als einen Philosophen)`` - in der logischen Sprache: $\bigwedge x(Px \rightarrow \bigwedge y(Py \rightarrow x=y))$. Eine andere Möglichkeit, denselben Sachverhalt wiederzugeben, ist $\bigwedge x \bigwedge y ( (Px \wedge Py) \rightarrow x=y )$ - soviel wie ,,Für alle zwei Dinge gilt: Wenn beide Philosophen sind, müssen sie identisch sein (andernfalls gäbe es ja mehr als einen Philosophen)``.

Der Satz ,,Es gibt genau einen Philosophen`` ist kaum komplizierter; er besagt, dass es mindestens einen ($\bigvee xPx$) und höchstens einen ( $ \bigwedge x \bigwedge y ( (Px \wedge Py) \rightarrow x=y) ) $) Philosophen gibt: $\bigvee xPx \wedge \bigwedge x \bigwedge y
( (Px \wedge Py) \rightarrow x=y )$. Dabei steht der einstellige Prädikatbuchstabe $P$ für das Prädikat ,, ist ein Philosoph``.

Unpräzise Quantoren (,,viele``, ,,wenige``, ,,die meisten``, ...) gibt es in unserer logischen Sprache nicht. Ein Satz vom Typ ,,Die meisten Philosophen sind weise`` lässt sich daher nicht zerlegen, sondern nur als Ganzes mit Hilfe eines Satzbuchstaben übersetzen.4.14


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Christian Gottschall 2003-03-19