Hausübungen

Gliederung

  1. 19. März 2012
  2. 26. März 2012
  3. 16. April 2012
  4. 23. April 2012
  5. 30. April 2012
  6. 21. Mai 2012
  7. 4. Juni 2012
  8. 11. Juni 2012
  9. 16. Juli 2012

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  1. Die Lehrveranstaltung
  2. Logikrechner
  3. Logikübergang
  4. Christian Gottschall

19. März 2012

  1. Überzeugen Sie sich bitte selber von den Vorzügen einer formalen Sprache für die Aussagenlogik, indem Sie hundertmal die Aussage "Wenn Frau Holle ihre Blumen zu stark gießt oder größere Mengen stark entwässernden Tees getrunken hat, dann regenet es" aufschreiben. Beobachten Sie genau Ihre Reaktionen und halten Sie dabei fest, ab dem wievielten Mal Ihnen der Sinn der formalen Sprache klar wird.
  2. Stellen Sie bitte ein paar möglichst schöne wohlgeformte Gebilde der aussagenlogischen Sprache auf. Ihrer Phantasie sind dabei keinerlei Grenzen gesetzt. Noch interessanter können Sie diese Aufgabe gestalten, indem Sie die wohlgeformten Gebilde mit Girlanden, Tiermotiven oder dergleichen verzieren.
  3. Ermitteln Sie bitte, welche der folgenden Gebilde keine wohlgeformten Gebilde unserer aussagenlogischen Sprache sind, und begründen Sie gaaanz kurz, warum sie das nicht sind.

    Achtung: Wenn Ihr Browser Unicode-Zeichen nicht richtig darstellen kann, dann sehen Sie anstelle der schönen Konnektive unschöne Kästchen oder Schlimmeres. Versuchen Sie in diesem Fall, in Ihrem Browser einen Unicode-Zeichensatz einzustellen.

    1. P∧Q
    2. P←Q
    3. ((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)))
    4. ¬(P∧¬P)
  4. Übersetzen Sie bitte die eine oder andere der folgenden Aussagen in die Sprache der Aussagenlogik:
    1. Wenn es regnet und Frau Holle ihre Blumen gießt, dann regnet es.
    2. Fekter, Feymann, Grasser, Hochstetter, Meischberger, Mikl-Leitner, Strache und Strasser machen Karriere, und ein guter Tag beginnt mit einem ausgeglichenen Budget.
    3. Wenn ich bei der ersten oder der zweiten Prüfung einen Einser bekomme, dann bekomme ich auf jeden Fall eine positive Abschlussnote. Anmerkung: Hier können Sie das "wenn... dann" mit einem Pfeil übersetzen, wenn Sie möchten.

26. März 2012

Üben

Stellen Sie bitte fest, welche der folgenden Argumente gültig sind und welche der folgenden Argumente ungültig sind. So etwas macht sehr viel Spaß.

  1. Aus den beiden Aussagen P sowie Q folgt (P→Q).
  2. Aus den drei Aussagen P∧Q, P sowie R folgt Q∧R.
  3. Aus der Aussage P→Q folgt die Aussage ¬P→¬Q
  4. Aus den Aussagen P→¬Q sowie Q folgt die Aussage ¬P.
  5. Aus der Aussage P folgt die Aussage Q→Q.
  6. Aus den beiden Aussagen P∧Q sowie ¬Q folgt die Aussage R.

Denken

  1. Wie viele unterschiedliche zweistellige Konnektive kann es höchstens geben?
  2. Kann man für vierwertige Logik (=Logik mit vier verschiedenen Wahrheitswerten) Wahrheitstabellen aufstellen? Und wie viele Zeilen hätten die dann?
  3. Eine Menge von Aussagen nennt man genau dann inkonsistent, wenn es unmöglich ist, dass all diese Aussagen zugleich wahr sind. Wie kann man feststellen, ob eine Menge von Aussagen inkonsistent ist?
  4. Kann ein Argument ungültig sein, dessen Konklusion "Faymann ist der Bundeskanzler der Herzen" lautet? Warum/warum nicht?

16. April 2012

Zeigen Sie bitte, dass einige der folgenden Argumente syntaktisch gar gültig sind:

  1. Aus P→R sowie Q→R folgt (P∧Q)→R.
  2. Aus P→Q sowie R→S folgt (P∧R)→(Q∧S)
    [Achtung: Die ursprüngliche Angabe enthielt einen Tippfehler und war daher leider nicht gültig.]
  3. Aus P∨Q folgt ¬P→Q
  4. Aus R, Q∨S, (T∧R)→¬S folgt T→Q.
  5. * Aus P∧T, P∧R, Q∨S sowie (T∧R)→¬S folgt Q.

23. April 2012

Herrliche Herleitungen

Leiten Sie bitte einige (nicht alle!) der folgenden Argumente her. Wenn Sie das nicht auf dem Papier tun(sic!), sondern ihre Herleitung interaktiv mit dem Beweisbauer zusammenklicken, dann hat das Vor- und Nachteile - Vorteil: Man kann Regeln nicht falsch anwenden; Nachteil: Das Ganze schaut optisch ein bissi anders aus als an der Tafel/auf dem Papier, uuund die vB funktioniert anders.

Übrigens: Die Beispiele sind ungefähr nach aufsteigender Schwierigkeit geordnet, auch wenn das natürlich höchst subjektiv ist.

  1. Aus P folgt Q→P
  2. Aus Q→R sowie P folgt (P∧R)→(P∧R)
  3. Aus ¬(P∨Q) folgt ¬P
  4. Aus ¬P folgt ¬(P∧Q)
  5. Aus der leeren Prämissenmenge folgt P→P.
  6. Aus P→Q folgt ¬Q→¬P
  7. Aus ¬(P∨Q) folgt ¬P∧¬Q.
  8. Aus ¬P∨Q folgt P→Q.
  9. Aus P∧¬Q folgt ¬(P→Q)
  10. Aus P→(Q∨R) sowie ¬P∨Q folgt ¬Q→R.
  11. Aus ¬(P→Q) folgt P∧¬Q.
  12. Aus P→Q folgt ¬P∨Q

Sensible Semantik

  1. Basteln Sie bitte eine Aussage, die den Wahrheitswertverlauf W-F-W-F hat.
  2. Basteln Sie bitte eine Aussage, die den Wahrheitswertverlauf W-F-F-F-F-W-F-W hat.
  3. Wieviele verschiedene einstellige Junktoren gibt es für die klassische Aussagenlogik? Welche davon verwenden wir, und warum verwenden wir die anderen nicht?
  4. Warum gibt es in unserer logischen Sprache keine dreistelligen Junktoren, keine vierstelligen Junktoren, keine fünfstelligen Junktoren, keine sechsstelligen Junktoren und überhaupt keine n-stelligen Junktoren mit n > 2...?
  5. Ich habe behauptet, aber nicht begründet oder gar formal bewiesen, dass unsere Konnektivmenge {¬, ∧, ∨, →, ↔} funktional vollständig ist. Finden denn Sie eine (ganz informelle) Begründung dafür, dass diese Behauptung stimmen könnte?
  6. Finden Sie ausgehend von unserer (wahrheits)funktional vollständigen Konnektivmenge {¬, ∧, ∨, →, ↔} die eine oder andere kleinere Konnektivmenge, die ebenfalls funktional vollständig ist. Und: Wie könnte das gehen?
  7. Wie viele Elemente muss eine funktional vollständige Konnektivmenge mindestens haben, und warum...?

30. April 2012

Heute gibt's keine eigene Hausübung, weil nächsten Montag eh schon Prüfung ist. Üben Sie einfach hemmungslos (es sind bestimmt noch genug ungelöste Hausübungsbeispiele übrig, auch können Sie ja auf die vergangenen Semester und deren Hausübungen und Prüfungsangaben zurückgreifen). Ziehen Sie auch in Erwägung, Ihre Herleitungen gleich interaktiv mit dem allerliebsten Beweisbauer zu erstellen - auf diese Weise erhalten Sie unmittelbare Rückmeldung, ob Ihre Herleitung richtig ist.

Sonst: Viel Spaß bei der Prüfung.


21. Mai 2012

Übersetzen Sie doch bitte ein paar der folgenden Aussagen in die jeweils andere Sprache.

  1. Alle Schafe sind freundlich.
  2. Es gibt mindestens ein freundliches Schaf.
  3. Mindestens ein Schaf trinkt gerne warmes Bier.
  4. Jedes rosa Schwein hat eine herzförmige Rüsselscheibe.
  5. Nur Schafe trinken im Sommer warmes Bier.
  6. Jede/r bewundert mindestens eine/n Politiker/in.
  7. Jede/r Politiker/in wird von mindestens einem Wähler bewundert.
  8. Faymann und Spindelegger sind verheiratet.
  9. Jedes Schwein hat einen Kopf.
  10. Jeder Schweinekopf ist ein Tierkopf.
  11. ∀x(Fx→(Gx∨Hx)) mit F_ … _ ist ein Schaf, G_ … _ arbeitet in einem Sozialberuf, H_ … _ ist erwerbslos.
  12. ∃x(Fx∧¬(Gx∨Hx))

Basteln Sie bitte für einige der folgenden Aussagen eine Interpretation, in der die jeweilige Aussage wahr ist, und/oder eine Interpretation, in der die jeweilige Aussage falsch ist.

  1. ∀x(Fx→Gx)
  2. ∃x(Fx∧Gx)
  3. ∃x(Fx∨Gx)
  4. ∃x(Fx∧¬(Gx∨Hx))
  5. ∃xFx∧∃xGx
  6. ∀xFx
  7. Fa∨Ga
  8. Fa∨Gb

4. Juni 2012

Übersetzen und die Geselligkeit

Übersetzen Sie doch bitte einfach einige der folgenden Aussagen in die jeweils andere Sprache.

Wenn Sie diese Übung noch interessanter gestalten wollen: Lassen Sie Ihre Lösungen ein paar Tage abliegen und übersetzen Sie sie dann - ohne das Original anzuschauen - zurück. Vergleichen und staunen Sie.

Einsamkeit und Entfremdung sind ein verbreitetes Problem in unserer schnelllebigen Zeit. Wenn Sie Ihren Alltag mit sozialer Wärme füllen wollen, dann binden Sie in diese Hausübung Ihre Freunde/innen, Verwandten, Nachbar(innen), Arbeitskolleg(inn), Pfleger/Wärter/innen ein! Lassen Sie sie nach dem "Stille Post"-Prinzip die einzelnen Aufgabenstellungen in einer Kette hin- und herübersetzen. Vergleichen Sie dann gemeinsam die Rückübersetzung mit der jeweiligen Ausgangsaussage: Stunden spannender Unterhaltung und lustiger Geselligkeit sind garantiert!

  1. Nur große Schweine suhlen im tiefen Schlamm.
  2. Alle Schweine suhlen gerne.
  3. Rosa Schweine haben empfindliche Haut.
  4. Das Schwarzbraune Bergschaf Wolltraude wäscht sich nur mit Fewa Wolle den Kopf.
  5. Mr. Burns ist reich und hat kräftige, spitze Zähne.
  6. Das Hausschwein Ilse schaltet nur dann seine Geschirrspülmaschine ein, wenn sie gut gefüllt ist.
  7. Alle Schweine sind freundlich, aber nur Wollschweine sind auch wollig.
  8. Es gibt mindestens zwei sprechende Wasservögel.
  9. Kein/e Politiker/in, der an einer von Lobbyisten veranstalteten Jagd teilnimmt, verhält sich korrekt.
  10. Dem damaligen Kabinettchef von Verkehrsministerin Bures wird vorgeworfen, im Jahr 2009 Gesetze im Sinn der A1 Telekom beeinflusst zu haben.
  11. Mindestens ein Zahntechniker liebt tollwütige Straßenhunde.
  12. Kein ehemaliger Zahntechniker, der sich als Berufspolitiker lästiger Erwerbsarbeit entziehen kann, liebt intelligente Menschen.

Bissi Semantik

Finden Sie doch bitte einfach für die eine oder andere der obigen Aussagen die eine oder andere Interpretation, in der die jeweilige Aussage den einen oder anderen Wahrheitswert annimmt.


11. Juni 2012

Leiten Sie bitte einige der folgenden Argumente her:

  1. Es gibt rosa Schweine. Alle Schweine sind freundliche Individuen. Also gibt es freundliche Individuen, die rosa sind.
  2. Es gibt berufstätige Schafe. Alle Schafe sind entweder erwerbslos oder arbeiten als Sozialarbeiter/innen. Also ist mindestens ein/e Sozialarbeiter/in ein Schaf.
  3. Aus ∃x(Fx∧Gx) folgt ∃xFx.
  4. Aus ∃x(Fx∧Gx) sowie ∀(Fx→Hx) folgt ∃xHx.

Zeigen Sie bitte für einige der folgenden Argumente, dass sie ungültig sind! (Wie macht man das?)

  1. Aus ∃xFx folgt ∀xFx.
  2. Aus ∃xFx sowie ∃xGx folgt ∃x(Fx∧Gx).
  3. Für jedes Ding gibt/gab es einen Zeitpunkt, an dem es nicht existiert. Also gibt/gab es einen Zeitpunkt, an dem gar kein Ding existiert hat.
  4. Es gibt wollige Schweine. Also gibt es auch Schweine, die nicht wollig sind.

16. Juli 2012

  1. Finden Sie bitte für einige der folgenden Aussagen mindestens ein Modell, in dem diese Aussage wahr ist, und mindestens ein Modell, in dem diese Aussage falsch ist:
    1. Alle Schafe sind wollig, aber Wolltraude ist wolliger als alle anderen Schafe.
    2. Scheuch ist keine illegale Handlung erinnerlich.
    3. ∀x(Fx∨Gx)
    4. ∀xFx∨∀xGx
    5. ∃x∃y((Fx∧Fy)∧¬x=y)
  2. Übersetzen Sie bitte jeder Aussage aus dem vorangehenden Beispiel in die jeweils andere Sprache.
  3. Zeigen Sie bitte für einige der folgenden ungültigen Argumente, dass sie ungültig sind:
    1. Aus ∀x(Fx∨Gx) folgt ∀xFx∨∀xGx.
    2. Aus ∀x(Fx→Gx) sowie Ga folgt Fa.
    3. Aus ∀x(Fx→Gx) sowie ∀x(Gx→Hx) folgt ∀x(Hx→Fx).

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2012-06-13 15:28:14
christian.gottschall@univie.ac.at